Луна и обратный квадрат: проверка гипотезы
Лунная проверка сопоставляла ускорение падающего тела с тем отклонением, которое удерживает Луну на орбите. Это был количественный тест согласия, а не прямое наблюдение силы тяготения.
Содержание статьи
Вопрос, поставленный числом
Представление о падающем яблоке удобно для рисунка, но само по себе ничего не доказывает. Земное тело падает вниз, Луна не падает на поверхность — на первый взгляд это разные сюжеты с разными декорациями. Ньютоновская догадка состояла в том, что оба движения могут подчиняться одной причине: Земля непрерывно отклоняет Луну к своему центру, а большая боковая скорость не позволяет Луне достичь поверхности.
Для такой догадки требовалось не удачное совпадение слов, а проверяемое число. Если притяжение ослабевает пропорционально квадрату расстояния, то на лунном расстоянии ускорение должно быть намного меньше земного. Луна находится примерно в шестидесяти земных радиусах от центра Земли; значит, ожидаемое ослабление составляет около 60², то есть примерно в 3600 раз. Дальше остаётся спросить: даёт ли орбитальное движение именно такое малое ускорение?
В ранние годы, между 1665 и 1667 годами, Ньютон уже связывал силу, действующую на Луну, с земной тяжестью. Однако связь ещё не равна законченной теории. Нужны были надёжные размеры Земли, оценка расстояния до Луны, её период обращения и геометрия движения. Без них фраза о единой силе была бы красивой табличкой на ещё не собранном механизме.
Как Луна участвует в расчёте
Луна за короткий промежуток времени летит почти по касательной к своей орбите. Если бы Земля совсем не притягивала её, путь продолжился бы по прямой. Разность между прямым продолжением и фактическим положением за тот же срок можно описать как падение к Земле. В этой модели не требуется наблюдать невидимую силу прибором: достаточно восстановить необходимое для кривизны пути центральное ускорение по расстоянию и периоду.
Полученное лунное ускорение затем сравнивают с ускорением у поверхности Земли. При обратноквадратичном законе отношение должно соответствовать квадрату отношения расстояний. Именно поэтому проверка чувствительна к масштабу Земли: ошибка в длине её радиуса портит мост между земным падением и небесным движением. Лунный тест не выводит закон из одной цифры; он проверяет, не противоречит ли закон одновременно двум очень разным наблюдаемым ситуациям.
Можно представить учебный вариант без сопротивления воздуха и без влияния Солнца. Малый шарик у поверхности за одну секунду заметно смещается вниз, а Луна за ту же секунду — несравнимо меньше, но всё же отклоняется к Земле. Если расстояние увеличить в шестьдесят раз, закон обратного квадрата требует уменьшить ускорение в 3600 раз. Так устроена логика модели: сравниваются не скорости Земли и Луны и не их массы, а ускорения на разных расстояниях.
От ранней идеи к доказательству
Этот аргумент работал не в пустоте, а рядом с более трудной математической задачей. К 1669 году были получены доказательства закона равных площадей и того, что при обратноквадратичной силе орбитой служит коническое сечение. Тем самым сравнение Луны с падением переставало быть одиночной аналогией: оно входило в систему, где сила, геометрия орбиты и наблюдаемый период должны были согласоваться друг с другом.
В 1684 году Эдмунд Галлей поставил вопрос предельно предметно: какая орбита получится при силе, обратной квадрату расстояния? Вопрос требовал не философского сходства неба и Земли, а вывода формы траектории. Позднейшая работа над этим вопросом привела к развёрнутому изложению в Principia. Двадцать лет между ранним толчком и завершённой публикацией плохо помещаются в садовую открытку, зато хорошо показывают объём настоящей проверки.
Поэтому лунный тест лучше понимать как важный узел аргумента. Он связывает земное ускорение, расстояние до Луны и её период в одну численную пропорцию. Он не измеряет тяготение непосредственно и не отменяет необходимость доказать орбитальную механику. Зато при удачном согласии превращает смелую догадку в гипотезу, которой приходится считаться с арифметикой небес.